MA.1.3 函数极限

函数、基本/初等函数、反函数

函数

Pasted image 20231023200506.png

反函数

条件：一一对应

Theorem

#反函数存在定理

严格单调函数必定存在相同单调性的反函数

证明：
Pasted image 20231023201730.png

函数的复合

Definition

复合函数

f \circ g (x) = f (g (x))

满足交换律

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

初等函数

基本初等函数
- 常数函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
初等函数
- 基本初等函数->有限次加减乘除
- 多项式、双曲函数

补充函数图像

$\sin x; \arcsin x$

width=500; height=300
top = pi; bottom = -pi/2;
left = -pi; right = pi;
---
y=\sin x
y=\arcsin x
y=x

$\cos x; \arccos x$

width=500; height=300
top = pi+0; bottom = -1;
left = -pi; right = pi;
---
y=\cos x
y=\arccos x
y=x

$\tan x; \arctan x$

width=500; height=300
---
y=\tan x
y=\arctan x
y=x

函数的其他表示方式
- 显表示： $y = f (x)$
- 分段函数（通常不是初等函数）
- 隐表示=>隐函数
  - 解出：隐函数显化
- 参数方程
  - 参数方程 - 一个或多个函数的图像
  - 消参 - 代入法
  - Eg. 滚轮线
    ${\begin{cases} x = r (θ - \sin θ) \\ y = r (1 - \cos θ) \end{cases}$
- 极坐标方程 $P (r, θ)$
  - $r$ - 极径； $θ$ - 倾角； $\vec{O x}$ - 极轴
  - 原点的 $θ$ 不确定，其他均唯一
  - $\to$ 直角坐标系 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, θ = \arctan \frac{y}{x}$
  - $\to$ 参数方程 $x = r \cos θ, y = r \sin θ$
  - Eg.
    - 心脏线 $r = a (1 + \cos θ)$
    - 双纽线 $(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$
      化极坐标： $(r^{2})^{2} = a^{2} r^{2} \cos 2 θ$

函数极限

无穷的极限

函数极限的 #epsilon-X定义

无穷大处的极限

$\forall ε > 0, \exists X = X (ε) > a, 当 | x | > X 时, 有$

| f (x) - l | < ε

$记为$

lim_{x \to \infty} f (x) = l 或 f (x) \to l (x \to \infty)

类比得到无穷大/无穷小

理解
- $\infty$ ：正无穷 / 负无穷
- 无限： $n$ 无限增大； $a_{n}$ 与 $a$ 无限接近
- 位于带状区域内 $\frac{| x |}{e^{| x |}}$
```
height=300; width=400;
top = 1; bottom = -1;
left = -5; right = 5;
---
y=x/e^{\abs(x)}
-1/5<y<1/5
```
- 证明步骤： $取 ε \to 取 X \to 证明小于 ε$

某一点的极限

函数极限的 #epsilon-delta定义

$\forall ε > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - x_{0} | < δ 时有$

| f (x) - l | < ε

$则记为$

lim_{x \to x_{0}} f (x) = l 或 f (x) \to l (x \to x_{0})

左右单侧极限同理可得

Theorem

$f (x) 在 x_{0} 有极限 \Leftrightarrow f (x) 在 x_{0} 左右极限相等$

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ $lim_{n \to x_{0}} f (a_{n}) = l$ ^91bb61

Theorem #单调函数极限定理

$设 f 在 (a, b) 内单增有界, 则 f (a + 0) 和 f (b - 0) 存在$ $且 f (a + 0) = inf f (a, b), f (b - 0) = sup f (a, b)$ ^b26dca

Theorem #单调函数单侧极限定理

$设 f 在 \overset{˚}{U} (x_{0}) 内单调有界, 则 f (x_{0} \pm 0) 存在$ , $不能得出 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在$
证明只需要在 $(a, x_{0})$ , $(x_{0}, b)$ 运用 #单调函数极限定理即可^207454

Theorem #Cauchy判别准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在 \Leftrightarrow$
$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x^{'}, x^{″} \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) :$ $$|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$$
其他五种极限不再赘述^aa2b80

极限的内涵

理解
- 无限接近：不要求 $x_{0}$ 处有意义，即使有意义，也不一定为其极限
- 几何意义： $x \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) \Rightarrow f (x) \in (l - ε, l + ε)$
性质（类比）
- #收敛数列唯一性 => #极限唯一性
- #收敛数列有界性 => #局部有界性 $| f (x) \leq M |$
  - 局部？ 在 $x_{0}$ 附近
  - 数列收敛区域外有有限项，可以有最大；函数去心领域外有无限个，无最大
- #收敛数列保号性 => #极限局部保号性
- #收敛数列保序性 => #极限局部保序性
- #收敛数列夹逼性 => #极限夹逼性
- 四则运算：加减乘除
- ※复合函数极限：
  - 条件： $t \neq t_{0} 时, g (t) \neq x_{0}$ (不能偷袭 $x_{0}$ 😈)
  - 加强： #变量代换
    - $若 lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) 规定了连续 / 有定义, 又 lim_{t \to t_{0}} g (t) = x_{0},$
      $则有 lim_{t \to t_{0}} f (g (t)) = f (x_{0})$
    - 要求：连续函数
常见极限
- $lim_{x \to x_{0}} f (x) = x_{0}$
- $lim_{x \to 0} a^{x} = 1$ 教材P38 注意左右极限相等
- $lim_{x \to x_{0}} a^{x} = a^{x_{0}}$
- $lim_{x \to x_{0}} \ln x = \ln x_{0}$ （其他底数可以使用换底公式）
- $lim_{◻ \to 0} \frac{\sin ◻}{◻} = 1, lim_{◻ \to \infty} \frac{\sin ◻}{◻} = 0$ （利用 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ）
- $lim_{◻ \to \infty} (1 + \frac{1}{◻})^{◻} = e, lim_{◻ \to 0} (1 + ◻)^{\frac{1}{◻}} = e$
  （利用 ${(1 + \frac{1}{[x] + 1})}^{[x]} < (1 + \frac{1}{x})^{x} < {(1 + \frac{1}{[x]})}^{[x] + 1} \dots [x] \leq x < [x] + 1$ ）
数列极限存在 -> 函数极限存在
- #子数列归并性定理 -> #Heine归并定理^9fd127

Theorem #Heine归并定理

$函数 f (x) 在 x \to x_{0} 时有极限的充要条件是$
$对于任意一个以 x_{0} 为极限的数列 {a_{n}} (a_{n} \neq x_{0}) 都有$ \lim\limits_{n\to x_{0}}f(a_{n})=l$

- 理解：
- 任意的离散 = 连续
- （函数值构成的）数列极限<=>函数极限
- 下标：异于 $x_{0}$ ，趋于 $x_{0}$
- 证明：
- ->： $x - x_{0} \to x_{n} - x_{0}$
- <-：反证法+构造性证明 $| f (x_{δ}) - l | \geq ε_{0}$ $\overset{δ = \frac{1}{n} \to 0}{\to}$ $| f (a_{n}) - l | \geq ε_{0}, 矛盾$
- 应用：常用于判定函数极限不存在
- 找到不相等的极限 $l$
- #单调有界定理 -> #单调函数极限
-

Theorem #单调函数极限定理

$设 f 在 (a, b) 内单增有界, 则 f (a + 0) 和 f (b - 0) 存在$ $且 f (a + 0) = inf f (a, b), f (b - 0) = sup f (a, b)$

>desmos-graph >width=400;height=200 >top=1;bottom=-1;left=-1.5;right=1.5; >--- >y=\sin x\left\{-1<x<1\right\} >
>证明见P42：sup定义 / #确界原理
-

Theorem #单调函数单侧极限定理

$设 f 在 \overset{˚}{U} (x_{0}) 内单调有界, 则 f (x_{0} \pm 0) 存在$ , $不能得出 lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在$
证明只需要在 $(a, x_{0})$ , $(x_{0}, b)$ 运用 #单调函数极限定理即可

- #Cauchy收敛准则 -> #Cauchy判别准则^dce2c1
-

Theorem #Cauchy判别准则

$lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在 \Leftrightarrow$
$\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x^{'}, x^{″} \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) :$ $| f (x^{'}) - f (x^{″}) | < ε$
其他五种极限不再赘述

- 理解：
- 自变量位于 $x_{0}$ 附近，则函数值接近
- 证明：
- ->： $\frac{ε}{2} 范围$
- <-：构造 $x_{0} \neq a_{n} \to x_{0}$ ，证明 ${f (a_{n})}$ 为基本列，嗅探出其极限，再将 $| f (x) - l |$ 拆分为 $| f (x) - f (a_{n}) | - | f (a_{n}) - l |$ ，取同时满足的条件即可
- #极限夹逼性

幂指函数极限

#e的转化
$lim (f (x))^{g (x)} = lim e^{g (x) \ln f (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)}$
简证：第二个等号运用了 #变量代换： $u = g (x) \ln f (x), lim_{u \to u_{0}} e^{u} = e^{u_{0}} = e^{lim (u \to u_{0}) u}$
#幂指同时取极限
$设 lim f (x) = A > 0, lim g (x) = B \in R, 则$ $$\lim f(x)^{g(x)}=A^B$$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = e^{lim g (x) \ln f (x)} = e^{B \ln A} = A B$
#1∞形不定式
$设 lim f (x) = 1, lim g (x) = \infty, 则$ $$\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim[f(x)-1]\cdot g(x)}$$
简证： $lim f (x)^{g (x)} = lim {(1 + f (x) - 1)^{\frac{1}{f (x) - 1}}}^{[f (x) - 1] \cdot g (x)}$
运用 #幂指同时取极限： $= e^{lim [f (x) - 1] \cdot g (x)}$

#有理函数极限公式

Note

Pasted image 20231025191241.png

无穷大量、无穷小量

definition 无穷小

$若 lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0, 则称 x \to x_{0} 时 f (x) 为无穷小，记为$ $$f(x)=o(1)~(x\to x_0)$$
$x \to x_{0}^{\pm}, \pm \infty, \infty$ 类似

无穷小的运算法则：见前

definition 无穷大

$\forall M > 0, \exists δ > 0, 当 x \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) 时, 有 | f (x) | > M,$ $则称 x \to x_{0} 时 f (x) 为无穷大，记为$ $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$$

无穷大、小（不取0）互为倒数
无穷大必为无界量，反之不然
- 在离散的数列中，以分奇偶为特判；在连续的函数，可用 $x \sin x$

Example

$f (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{x}} - 1} 在 x = 0 处是否有极限$
$\frac{1}{x}$ 在指数上，指数趋于+∞时常需要分类讨论

无穷小与无穷大的比较

Definition

$令 lim α (x) = 0 = lim β (x), lim \frac{α (x)}{β (x)} = l$

$l = 0$ ，高阶无穷小，记为 $α (x) = o (β (x))$
$l \neq 0$ ，同阶无穷小
- 特别地， $l = 1$ ，等价无穷小，记为 $α (x) \sim β (x)$

$令 lim α (x) = \infty = lim β (x), lim \frac{α (x)}{β (x)} = l$

$l = 0$ ，低阶无穷大，记为 $α (x) = o (β (x))$
$l \neq 0$ ，同阶无穷大
- 特别地， $l = 1$ ，等价无穷大，记为 $α (x) \sim β (x)$

常用结论

$x \to 0 {\begin{cases} x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \\ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} \\ x^{2} \pm x^{3} \sim x^{2} \end{cases}$

$x \to 0$ 次数高=作用小

$x \to \infty {\begin{cases} x^{2} + x^{3} \sim x^{3} \\ \ln x = o (x) \\ x = o (e^{x}) \end{cases}$

Prove

\ln x = o (x)

简证：
$当 2^{k - 1} < x < 2^{k} 时$
$\begin{aligned} \frac{\ln x}{x} & < \frac{\ln 2^{k}}{2^{k - 1}} \\ = \frac{k \ln 2}{2^{k - 1}} \\ < (2 \ln 2) \frac{k}{2^{k}} \\ < (2 \ln 2) \frac{k}{C_{k}^{2}} \\ = 4 \ln 2 \frac{1}{k - 1} \\ \to 0 \end{aligned}$ | Tips: $2^{k} = (1 + 1)^{k} > C_{k}^{2}$

Prove

lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}}

$lim_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{t} \dots (t = e^{x} \to + \infty)$

Corollary

α > 0 时, lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{α}} = 0

简证：
$令 t = x^{α}$
$∴ lim_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{α t} = \frac{1}{α} lim_{t \to + \infty} \frac{\ln t}{t}$

Theorem #等价无穷小替换定理

$设 a \sim a^{'}, b \sim b^{'}, 且 lim \frac{f β^{'}}{α^{'}} 存在, 则$

lim \frac{f β}{α} = lim \frac{β}{β^{'}} \cdot lim \frac{f β^{'}}{α^{'}} \cdot lim \frac{α^{'}}{α}

原则：
极限式分子或分母的无穷小因式可以用等价无穷小替换，而和式不能

简证：

$lim \frac{f β}{α} = lim (\frac{β}{β^{'}} \cdot \frac{f β^{'}}{α^{'}} \cdot \frac{α^{'}}{α})$ $= lim \frac{β}{β^{'}} \cdot lim \frac{f β^{'}}{α^{'}} \cdot lim \frac{α^{'}}{α}$

Example

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}$

另：记号 $O$ ， $o$

Definition

$\exists c > 0, x \in \overset{˚}{U} (x_{0}) :$

| f (x) | \leq c | g (x) |

记为:$$f(x)=O(g(x))\quad(x\to x_0)$$
特别地

$f$ 在 $\overset{˚}{U} (x_{0})$ 有界，即$$f(x)=O(1)\quad(x\to x_0)$$
$\frac{f}{g}$ 有界，即$$f=O(g)$$

Corollary

$\begin{aligned} o (◻) & : \frac{f}{◻} \sim 0 & \Rightarrow o (1) & : f \to 0 \\ O (◻) & : \frac{f}{◻} 有界 & \Rightarrow O (1) & : f 有界 \end{aligned}$

Example

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{α} - 1}{x} (α > 0)$
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - \cos x}{x^{2}}$
$lim_{x \to 0} (\cos x + x^{2})^{\frac{1}{x^{2}}}$

函数、基本/初等函数、反函数

函数

反函数

函数的复合

初等函数

sin⁡x; arcsin⁡x

cos⁡x; arccos⁡x

tan⁡x; arctan⁡x

函数极限

无穷的极限

某一点的极限

极限的内涵

#子数列归并性定理 -> #Heine归并定理^9fd127

幂指函数极限

#有理函数极限公式

无穷大量、无穷小量

无穷小与无穷大的比较

另：记号 O，o

$\sin x; \arcsin x$

$\cos x; \arccos x$

$\tan x; \arctan x$

另：记号 $O$ ， $o$